Super trudne zagadki logiczne

A – łotr, B – rycerz, C – łotr.

Gdyby A był rycerzem, B byłby łotrem, więc zdanie B byłoby fałszywe – a wtedy rycerzy byłoby 0 albo co najmniej 2. Jedynym rycerzem jest A, więc musiałoby ich być dwóch, czyli C jest rycerzem. Ale C mówi, że A i C są różni – sprzeczność. Zatem A jest łotrem, a B rycerzem. Prawdziwe zdanie B oznacza, że B jest jedynym rycerzem, więc C jest łotrem – i rzeczywiście jego zdanie („A i ja jesteśmy różni”) jest fałszywe, bo obaj są łotrami.

Rycerzami są A, C i D, a B jest łotrem.

Załóżmy, że D jest łotrem. Wtedy jego zdanie jest fałszywe, więc C jest rycerzem (C i D są różni). Jeśli A jest rycerzem, to B jest innego rodzaju niż D, czyli rycerzem – ale łotr byłby tylko jeden, więc zdanie B byłoby fałszywe. Jeśli A jest łotrem, to B jest tego samego rodzaju co D, czyli łotrem – ale wtedy łotrów jest trzech i B powiedziałby prawdę. Obie możliwości prowadzą do sprzeczności, więc D jest rycerzem, a jego prawdziwe zdanie daje: C też jest rycerzem. Prawdziwe zdanie C (D nie jest łotrem) oznacza, że A jest rycerzem. Prawdziwe zdanie A: B jest innego rodzaju niż D, czyli łotrem. Sprawdzenie: łotr jest jeden, rycerzy trzech – B rzeczywiście kłamie.

Rycerzami są trzej pierwsi, a łotrami trzej ostatni.

Jeśli łotrów jest k, to prawdziwe są dokładnie zdania osób 1…k, czyli rycerzami są osoby 1…k, a łotrami osoby k+1…6. Łotrów jest więc 6−k. Z równania k = 6 − k dostajemy k = 3.

Środa.

Każdy mówi prawdę w swoje dni prawdy i kłamie w dni kłamstwa. Zdanie Sowy „jutro będę kłamać” jest prawdziwe w niedzielę, poniedziałek i wtorek. Pasuje więc w niedzielę (Sowa mówi prawdę i zdanie jest prawdziwe) oraz w środę (Sowa kłamie, a zdanie jest fałszywe, bo w czwartek mówi prawdę). Zdanie Kruka „pojutrze będę kłamać” jest prawdziwe we wtorek, środę i czwartek. Pasuje we wtorek i środę (dni prawdy, zdanie prawdziwe) oraz w piątek i sobotę (dni kłamstwa, zdanie fałszywe). Jedyny wspólny dzień to środa.

Z kolejnych worków bierzemy 1, 2, 4, 8, 16, 32 i 64 monety i ważymy je razem (127 monet).

Prawdziwe monety ważyłyby razem 1270 g. Nadwyżka w gramach równa się sumie liczb monet wziętych z dwóch fałszywych worków. Ponieważ są to różne potęgi dwójki, każda suma dwóch z nich jest inna (to zapis liczby w systemie dwójkowym z dwiema jedynkami) – nadwyżka jednoznacznie wskazuje oba worki. Np. nadwyżka 36 g = 4 + 32, czyli worki 3 i 6.

Pięć odważników: 1, 3, 9, 27 i 81 g.

Każdy odważnik może leżeć na lewej szalce, na prawej albo wcale – to trzy możliwości. Przy czterech odważnikach jest 3⁴ = 81 układów, z czego dodatnich mas co najwyżej 40, więc cztery to za mało. Pięć odważników daje (3⁵ − 1) / 2 = 121 różnych dodatnich mas, a potęgi trójki osiągają je wszystkie (zapis w systemie trójkowym z cyframi −1, 0, 1).

29 minut.

Najlepiej: 1 i 3 przechodzą (3), 1 wraca (1), 8 i 12 przechodzą (12), 3 wraca (3), 1 i 3 przechodzą (3), 1 wraca (1), 1 i 6 przechodzą (6). Razem 3+1+12+3+3+1+6 = 29. Najwolniejsza para idzie razem, a latarkę odnoszą najszybsi. Przeszukanie wszystkich możliwości potwierdza, że szybciej się nie da.

13 przepraw.

Każdy dorosły „kosztuje” 4 przeprawy: dwoje dzieci płynie, jedno wraca, płynie dorosły, wraca drugie dziecko. Po trzech dorosłych (12 przepraw) dzieci są znów razem na pierwszym brzegu i przepływają w 13. przeprawie. Przeszukanie wszystkich stanów potwierdza, że mniej się nie da.

92.

Różnice między kolejnymi liczbami to 1, 4, 9, 16, 25 – kolejne kwadraty. Następna różnica to 36, więc 56 + 36 = 92.

S.

To pierwsze litery liczebników: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć. Następne jest siedem.

G.

To pierwsze litery polskich nazw miesięcy: styczeń, luty, marzec, kwiecień, maj, czerwiec, lipiec, sierpień, wrzesień, październik, listopad – i grudzień.

Poniedziałkiem.

Skoro 1 stycznia i 31 grudnia wypadają w ten sam dzień, rok ma 365 dni (364 to pełne tygodnie) – nie jest przestępny. Od 1 stycznia do 1 marca mija 31 + 28 = 59 dni, a 59 = 8·7 + 3. Piątek + 3 dni = poniedziałek.

301.

Liczba minus 1 musi być wielokrotnością NWW(2,3,4,5,6) = 60, więc szukamy liczby postaci 60k + 1 podzielnej przez 7. Ponieważ 60 daje resztę 4 przy dzieleniu przez 7, potrzebne jest 4k + 1 podzielne przez 7 – najmniejsze k to 5. 60·5 + 1 = 301 = 7·43.

35.

Pierwsza cyfra to co najmniej 1. Odejmijmy od niej 1 – zostaje rozdzielić 4 „jedynki” na 4 cyfry, co daje C(7,3) = 35 sposobów (metoda „gwiazdek i kresek”). Żadna cyfra nie przekroczy 9, więc nie trzeba niczego odejmować.

Ósmego dnia.

Po każdej pełnej dobie ślimak jest o 2 m wyżej. Po 7 dobach jest na 14 m, a ósmego dnia wspina się o 4 m – do 18 m, czyli wychodzi, zanim nadejdzie noc. Pułapka: odpowiedź „po 8,5 doby” albo „15. dnia” pomija to, że w ostatni dzień ślimak już się nie zsuwa.

7 szafek: 1, 4, 9, 16, 25, 36 i 49.

Szafkę nr n przestawia każdy uczeń, którego numer jest dzielnikiem n. Szafka zostaje otwarta, jeśli dzielników jest nieparzyście wiele – a tak jest tylko dla kwadratów liczb (dzielniki łączą się w pary d i n/d, poza pierwiastkiem). Kwadratów nie większych niż 60 jest siedem.

4, 4 i 18 lat.

Rozkładów 288 na trzy czynniki jest wiele, ale tylko dwie sumy powtarzają się: 42 (1·9·32 i 2·4·36) oraz 26 (2·12·12 i 4·4·18). Rachmistrz zna numer domu i wciąż nie wie – więc suma to 42 albo 26. Informacja o jednej najstarszej córce rozstrzyga tylko przy sumie 26: wyklucza bliźniaczki 12 i 12. Przy sumie 42 oba rozkłady mają jedną najstarszą córkę, więc rachmistrz nadal by nie wiedział. Zatem córki mają 4, 4 i 18 lat.

Z pudełka z napisem „jabłka i gruszki”.

To pudełko na pewno nie jest mieszane, więc wylosowany owoc mówi, co w nim jest – np. jabłko oznacza same jabłka. Pudełko „gruszki” nie może wtedy zawierać gruszek ani jabłek (jabłka już są), więc jest mieszane, a pudełko „jabłka” zawiera gruszki. Analogicznie, gdy wylosujesz gruszkę.

Bartek.

Zdania Tomka i Ewy są dokładnie przeciwne, więc jedno z nich jest prawdziwe – to jedyna prawda. Zdania Ali i Bartka są zatem fałszywe. Fałszywe zdanie Bartka („to nie ja”) oznacza, że to on zjadł sernik. Wtedy Tomek kłamie, a Ewa mówi prawdę – zgadza się, tylko jedno zdanie jest prawdziwe.